Mehrfachschießverfahren, Verfahren zur näherungsweisen Lösung von Rand-wertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen in Verallgemeinerung des Schießverfahrens.

Ist das Randwertproblem gegeben in der Form \begin{eqnarray}{y}^{\prime}=f(x,y),r(y(a),y(b))=0,\end{eqnarray}

dann versucht die Mehrzielmethode die Werte \({\hat{s}}_{k}:=y({x}_{k})\) an mehreren fest vorgegebenen Stellen \begin{eqnarray}a={x}_{1}\lt {x}_{2}\lt \cdots \lt {x}_{m}=b\end{eqnarray}

gleichzeitig iterativ zu berechnen.

Seien dazu y(x; x_k, s_k) die Lösungen der Anfangswertprobleme \begin{eqnarray}{y}^{\prime}=f(x,y),\,\,y({x}_{k})={s}_{k}.\end{eqnarray}

Ziel ist es, die s_k so zu bestimmen, daß die stückweise aus den y(x; x_k, s_k) gebildete Funktion \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}y(x) & := & y(x;{x}_{k},{s}_{k})\,{\rm{f}}{\rm{\ddot{u}}}{\rm{r}}\,x\in [{x}_{k},{x}_{k+1}),\\ & & k=1,\ldots, m-1,\\ y(b) & := & {s}_{m}\end{array}\end{eqnarray}

stetig ist und obige Randbedingung erfüllt. y ist dann eine Lösung des gesuchten Randwertproblems.

Aus der Stetigkeitsforderung ergeben sich die Bedingungen \begin{eqnarray}\begin{array}{l}y({x}_{k+1};{x}_{k},{s}_{k})={s}_{k+1},k=1,\ldots, m-1,\\ r({s}_{1},{s}_{m})=0\end{array}\end{eqnarray}

an die s_k, welche als nichtlineares Gleichungssystem iterativ gelöst werden können. Dabei werden die Werte y(x_k+1; x_k, s_k) mittels eines Verfahrens für Anfangswertaufgaben (z. B. einem Einschrittverfahren) ebenfalls iterativ ermittelt. Das gleiche gilt für eventuell benötigte Ableitungen in der Jacobi-Matrix, falls das Newtonverfahren für die Berechnung der s_k eingesetzt wird.

Die Mehrzielmethode kann man ohne Probleme auch auf Systeme von Differentialgleichungen übertragen. Läßt man m → ∞ streben, so konvergiert die Mehrzielmethode gegen ein allgemeines Newtonverfahren für Randwertaufgaben, welches auch als Quasilinearisierung bekannt ist.

[1] Stoer, J.; Bulirsch, R.: Einführung in die Numerische Mathematik II. Springer Verlag, Berlin, 1978.